Question

已知空間四邊形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，
（1）求證：BC∥平面AFE；
（2）平面ABE⊥平面ACD．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理，我們可得到FE∥BC，再由線面平行的判定定理，即可得到∥平面AFE；
（2）由已知中空間四邊形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一，我們易得到AE⊥DC，BE⊥CD，結(jié)合線面垂直判定定理，可得CD⊥平面AEB，結(jié)合面面垂直判定定理，即可得到平面ABE⊥平面ACD．
解答：證明：（1）∵E，F(xiàn)分別是CD與BD的中點(diǎn)
∴FE∥BC
∵EF?平面AFE，BC?平面AFE
∴BC∥平面AFE．（6分）
（2）∵AC=AD，BC=BD，且E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)
∴AE⊥DC，BE⊥CD
∵EB∩EA=E
∴CD⊥平面AEB
∵CD?平面ACD
∴平面ABE⊥平面ACD．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握平面與平面垂直的判定定理及直線與平面平行的判定定理及證明思路，是解答本題的關(guān)鍵．