Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+ln²3x-2a（x+3ln3x）+10a²，若存在x₀使得$f（{x_0}）≤\frac{1}{10}$成立，則實數(shù)a的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{10}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{1}{30}$

Answer 1

分析 把函數(shù)f（x）可以看作是動點M（x，ln3x）與動點N（a，3a）之間距離的平方，利用導數(shù)求出曲線y=ln3x上與直線y=3x平行的切線的切點，得到曲線上點到直線距離的最小值，結合題意可得只有切點到直線距離的平方等于$\frac{1}{10}$，然后由兩直線斜率的關系列式求得實數(shù)a的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+ln²3x-2a（x+3ln3x）+10a²=（ln3x-3a）²+（x-a）²，
函數(shù)f（x）可以看作是動點M（x，ln3x）與動點N（a，3a）之間距離的平方，
動點M在函數(shù)y=ln3x的圖象上，N在直線y=3x的圖象上，
問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，
由y=ln3x得，y'=$\frac{1}{x}$=3，解得x=$\frac{1}{3}$，
∴曲線上點M（$\frac{1}{3}$，0）到直線y=3x的距離最小，
最小距離d=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
則f（x）≥$\frac{1}{10}$，
根據(jù)題意，要使f（x₀）≤$\frac{1}{10}$，
則f（x₀）=$\frac{1}{10}$，此時N恰好為垂足，
由k_MN=$\frac{3a-0}{a-\frac{1}{3}}$=-$\frac{1}{3}$，
解得a=$\frac{1}{30}$．
故選：D．

點評 本題考查利用導數(shù)求曲線上過某點切線的斜率，考查了數(shù)形結合和數(shù)學轉化思想方法，訓練了點到直線的距離公式的應用，是中檔題．