已知數(shù)列{an}滿足，a1=2
（I）求證：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n（n+1）
（II）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn；
（III）是否存在無限集合M，使得當(dāng)n∈M時(shí)，總有成立．若存在，請(qǐng)找出一個(gè)這樣的集合；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】分析：（I）由3Sn=（n+2）an，得3Sn-1=（n+1）an-1（n≥2），二式相減得，然后利用疊乘法可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，從而證得結(jié)論；
（II）將裂項(xiàng)得，然后進(jìn)行求和即可；
（III）令，可求出滿足條件的n，從而得到集合M．
解答：證明：（I）由3Sn=（n+2）an
得3Sn-1=（n+1）an-1（n≥2）
二式相減得3an=（n+2）an-（n+1）an-1
∴（n-1）an=（n+1）an-1
∴
∴
疊乘得：an=n（n+1）（n∈N*）（7分）
（II）∵
∴（10分）
（III）令
得：n+1＞10，n＞9
故滿足條件的M存在，M={n∈N|n＞9，n∈N*}是一個(gè)這樣的集合（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng)，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項(xiàng)公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1
．

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