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(2006•東城區(qū)二模)已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AD=1,AB=2,E、F分別是AB、PD的中點.
(1)求證:AF∥平面PEC;
(2)求PC與平面ABCD所成角的大;
(3)求二面角P-EC-D的大。
分析:(1)取PC的中點H,連接FH,EH,證明四邊形AEHF是平行四邊形,然后利用直線與平面平行的判定定理證明AF∥平面PEC;
(2)連接AC,說明PC與平面ABCD所成的角的大小,就是∠PCA;在Rt△PAC中,求PC與平面ABCD所成的角的大;
(3)延長CE至O,使得AO⊥CE于O,連接PO,說明∠POA就是二面角P-EC-D的大小,利用三角形相似,求出AO,在Rt△PAO中,求出二面角P-EC-D的大。
解答:解:(1)取PC的中點H,連接FH,EH,
因為E、F分別是AB、PD的中點.
所以FH∥DC,FH=
1
2
DC,又AB∥DC,
∴FH∥AE,并且FH=AE.
∴四邊形AEHF是平行四邊形,
∴AF∥EH,∵EH?平面PEC,AF?平面PEC,
所以AF∥平面PEC;
(2)連接AC,因為PA⊥平面ABCD,
所以PC與平面ABCD所成的角的大小,就是∠PCA;
因為底面ABCD是矩形,PA=AD=1,AB=2,
所以AC=
12+22
=
5

在Rt△PAC中∴tan∠PCA=
PA
AC
=
1
5
=
5
5
,
∠PCA=arctan
5
5

(3)延長CE至O,使得AO⊥CE于O,
連接PO,因為PA⊥平面ABCD,
所以∠POA就是二面角P-EC-D的大小,
在Rt△AOE與Rt△EBC中,易得
Rt△AOE∽Rt△EBC,
所以
AO
BC
AE
EC
,EC=
EB2+BC2
=
2

所以AO=AO=
AE•BC
EC
=
1×1
2
=
2
2
,
在Rt△PAO中,tan∠POA=
PA
AO
=
1
2
2
=
2

所以所求的二面角P-EC-D的大小為:arctan
2
點評:本題是中檔題,考查直線與平面的平行,直線與平面所成的角的大小,二面角的大小的求法,正確作出有關的角是解題的關鍵,考查定理的應用,空間想象能力,計算能力.
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