Question

設a為實數，設函數f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值為g（a）．
（Ⅰ）設t=

1+x

+

1-x

，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數m（t）
（Ⅱ）求g（a）
（Ⅲ）試求滿足g(a)=g(

1

a

)的所有實數a

Answer 1

分析：（I）t=

1+x

+

1-x

先求定義域，再求值域．由

1-x2

=

1

2

t2-1轉化．
（II）求g（a）即求函數m(t)=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值．嚴格按照二次函數求最值的方法進行．
（III）要求滿足g(a)=g(

1

a

)的所有實數a，則必須應用g（a）的解析式，它是分段函數，必須分情況選擇解析式進行求解．

解答：解：（I）t=

1+x

+

1-x

要使有t意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴t2=2+2

1-x2

∈[2，4]，t≥0①
t的取值范圍是[

2

，2].
由①得

1-x2

=

1

2

t2-1
∴m（t）=a（

1

2

t2-1）+t=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]

（II）由題意知g（a）即為函數m(t)=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值．
注意到直線t=-

1

a

是拋物線m(t)=

1

2

at2+t-a的對稱軸，
分以下幾種情況討論．
（1）當a＞0時，函數y=m（t），t∈[

2

，2]的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由t=-

1

a

＜0知m（t）在[

2

，2].上單調遞增，
∴g（a）=m（2）=a+2
（2）當a=0時，m（t）=t，t∈[

2

，2]，
∴g（a）=2．
（3）當a＜0時，函數y=m（t），t∈[

2

，2]的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若t=-

1

a

∈[0，

2

]，即a≤-

2

2

則g(a)=m(

2

)=

2

若t=-

1

a

∈(

2

，2]，即-

2

2

＜a≤-

1

2

則g(a)=m(-

1

a

)=-a-

1

2a

若t=-

1

a

∈(2，+∞)，即-

1

2

＜a＜0則g（a）=m（2）=a+2
綜上有g(a)=

a+2          a＞- 1 2 -a- 1 2a - 2 2 ＜a＜ - 1 2 2 a≤- 2 2

（III）情形1：當a＜-2時

1

a

＞-

1

2

，
此時g(a)=

2

，g(

1

a

)=

1

a

+2
由2+

1

a

=

2

解得a=-1-

2

2

，與a＜-2矛盾．
情形2：當-2≤a＜-

2

，-

2

2

＜

1

a

≤-

1

2

時，
此時g(a)=

2

，g(

1

a

)=-

1

a

-

a

2

2

=-

1

a

-

a

2

解得，a=-

2

與a＜-

2

矛盾．
情形3：當-

2

≤a≤-

2

2

，-

2

≤

1

a

≤-

2

2

時，
此時g(a)=

2

=g(

1

a

)
所以-

2

≤a≤-

2

2

，
情形4：當-

2

2

＜a≤-

1

2

時，-2≤

1

a

＜-

2

，
此時g(a)=-a-

1

2a

，g(

1

a

)=

2

-a-

1

2a

=

2

，
解得a=-

2

2

，與a＞-

2

2

矛盾．
情形5：當-

1

2

＜a＜0時，

1

a

＜-2，
此時g（a）=a+2，g(

1

a

)=

2

由a+2=

2

解得a=

2

-2，與a＞-

1

2

矛盾．
情形6：當a＞0時，

1

a

＞0，
此時g（a）=a+2，g(

1

a

)=

1

a

+2
由a+2=

1

a

+2解得a=±1，由a＞0得a=1．
綜上知，滿足g(a)=g(

1

a

)的所有實數a為：-

2

≤a≤-

2

2

，或a=1

點評：本小題主要考查函數、方程等基本知識，考查分類討論的數學思想方法和綜合運用數學知識分析問題、解決問題的能力．