Question

如圖，兩縣城A和B相距20km，O為AB的中點，現(xiàn)要在以O(shè)為圓心、20km為半徑的圓弧

MN

上選擇一點P建造垃圾處理廠，其中MA⊥AB，NB⊥AB．已知垃圾處理廠對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關(guān)，對城A和城B的總影響度為對城A和城B的影響度之和．統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為9．記垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y，設(shè)AP=xkm，∠POA=θ．
（I）寫出x關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系，并求該函數(shù)的定義域和值域；
（II）當(dāng)x為多少km時，總影響度最��？

Answer 1

分析：（I）根據(jù)在三角形中應(yīng)用余弦定理做出變量的表示式，得到一個關(guān)于三角函數(shù)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)做出函數(shù)的定義域和值域．
（II）根據(jù)余弦定理表示出要求的量，根據(jù)上一問的結(jié)果，得到變量的表示式，對函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)大于0，小于0，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到最值，說明最值的實際意義．

解答：解：（I）在△POA中，有余弦定理得：
x²=400+100-2×20×10cosθ=500-400cosθ
∴x=10

5-4cosθ

定義域為[

π

3

2π

3

]，值域為[10

3

，10

7

]
（II）在△POA中，有余弦定理得：
PB²=400+100-2×20×10cos（π-θ）=500+400cosθ
∵由（I）知400cosθ=500-x²，
∴PB²=1000-x²
∴y=

9

x2

+

4

1000-x2

∴y′=

10(x2-600)(3000-x2)

x3(1000-x2 )2

∵10

3

≤x≤10

7

，
令y′=0
得x=10

6

當(dāng)10

3

≤x≤10

6

時，y′＜0
當(dāng)10

6

≤x≤10

7

，y′＞0
∴當(dāng)x=10

6

時，y取極小值也是最大值．
即當(dāng)AP為10

6

時，總影響度最�。�

點評：本題考查已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，解答本題的關(guān)鍵是建立起符合條件的模型，作出正確的示意圖，然后再由三角形中的相關(guān)知識進行運算，注意不同中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．