Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=AA₁．
（1）設(shè)E，F(xiàn)分別為AB₁、BC₁的中點(diǎn)，求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：AC⊥AB．

Answer 1

解：（1）連接AB則交A₁B于E，且為A₁B中點(diǎn)，又F為BC₁的中點(diǎn)
∴EF∥A₁C₁ A₁C₁ ∥AC
EF∥AC
∴EF∥平面ABC
（2）∵AB=AA₁
∴四邊形ABAA₁是正方形，
∴AB₁⊥A₁B
∵AB₁⊥BC₁
所以AB₁⊥平面A₁BC₁
∴AB₁⊥A₁C₁
∴AB₁⊥AC
又BB₁⊥AC
∴AC⊥平面ABAA₁
∴AC⊥AB
分析：（1）連接AB則交A₁B于E，且為A₁B中點(diǎn)，又F為BC₁的中點(diǎn)EF∥A₁C₁ A₁C₁ ∥AC由公理4，可得EF∥AC從而由線面平行的判定定理得到結(jié)論．（2）由AB=AA₁得到四邊形ABAA₁是正方形，從而有AB₁⊥A₁B，再由AB₁⊥BC₁可知AB₁⊥平面A₁BC₁由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面ABAA₁從而有AC⊥AB．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了立體幾何中線面之間的位置關(guān)系及其中的公理和判定定理，也蘊(yùn)含了對(duì)定理公理綜合運(yùn)用能力的考查，屬中檔題