Question

已知圓M的方程為：x²+y²-2x-2y-6=0，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓N與圓M相內(nèi)切．
（1）求圓N的方程；
（2）圓N與x軸交于E、F兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比數(shù)列，求•的取值范圍；
（3）過點(diǎn)M作兩條直線分別與圓N相交于A、B兩點(diǎn)，且直線MA和直線MB的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線MN和AB是否平行？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：化簡圓M的方程為：x²+y²-2x-2y-6=0，為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑．
（1）判定圓心N在圓M內(nèi)部，因而內(nèi)切，用|MN|=R-r，求圓N的方程；
（2）根據(jù)圓N與x軸交于E、F兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比數(shù)列，列出關(guān)系，再求•的表達(dá)式的取值范圍；
（3）直線MA和直線MB的傾斜角互補(bǔ)，故直線MA和直線MB的斜率存在，設(shè)直線MA的斜率為k，則直線MB的斜率為-k．得到直線MA的方程，直線MB的方程，聯(lián)立方程組，求出AB的斜率，判定與MN的斜率是否相等即可．
解答：解：圓M的方程可整理為：（x-1）²+（y-1）²=8，故圓心M（1，1），半徑R=2．
（1）圓N的圓心為（0，0），
因?yàn)閨MN|=＜2，所以點(diǎn)N在圓M內(nèi)，
故圓N只能內(nèi)切于圓M．
設(shè)其半徑為r．
因?yàn)閳AN內(nèi)切于圓M，
所以有：|MN|=|R-r|，
即=|2-r|，解得r=．
或r=3（舍去）；
所以圓N的方程為
x²+y²=2．
（2）由題意可知：E（-，0），F(xiàn)（，0）．
設(shè)D（x，y），由|DE|、|DO|、|DF|成等比數(shù)列，
得|DO|²=|DE|×|DF|，
即：×=x²+y²，
整理得：x²-y²=1．
而=（--x，-y），
=（-x，-y），•
=（--x）（-x）+（-y）（-y）=x²+y²-2=2y²-1，由于點(diǎn)D在圓N內(nèi)，
故有，由此得y²＜，所以•∈[-1，0）．
（3）因?yàn)橹本�MA和直線MB的傾斜角互補(bǔ)，故直線MA和直線MB的斜率存在，
且互為相反數(shù)，設(shè)直線MA的斜率為k，則直線MB的斜率為-k．故直線MA的方程為
y-1=k（x-1），
直線MB的方程為
y-1=-k（x-1），
由，
得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0．
因?yàn)辄c(diǎn)M在圓N上，故其橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解，
可得x_A=，
同理可得：x_B=，
所以k_AB==
=
=1=k_MN．
所以，直線AB和MN一定平行．
點(diǎn)評：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，等差數(shù)列的性質(zhì)，圓的公切線方程等知識，考查邏輯思維能力，是中檔題．