Question

已知O是銳角△ABC的外接圓的圓心，且∠A=

π

4

，其外接圓半徑為R，若

cosB

c

•

AB

+

cosC

b

•

AC

=

1

2R

m 

AO

，則m=

2

．

Answer 1

分析：先把等式中向量用

OA

、

OB

、

OC

表示出來(lái)，然后兩邊同與向量

OA

作數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合正弦定理化邊為角即可求得m值．

解答：解：由

cosB

c

•

AB

+

cosC

b

•

AC

=

1

2R

m 

AO

，得

cosB

c

(

OB

-

OA

)+

cosC

b

(

OC

-

OA

)=

1

2R

m

AO

，
兩邊同時(shí)乘向量

OA

，得

cosB

c

(

OB

•

OA

-

OA

2)+

cosC

b

(

OC

•

OA

-

OA

2)=

1

2R

m

AO

•

OA

，
即

cosB

c

(R2cos2C-R2)+

cosC

b

(R2cos2B-R2)=-

1

2R

mR²，
所以

cosB

c

(-2sin2C)+

cosC

b

(-2sin2B)=-

1

2R

m，
由正弦定理可得，

cosB

sinC

(-2sin2C)+

cosC

sinB

(-2sin2B)=-m，
所以-2sinCcosB-2sinBcosC=-m，即2sin（B+C）=m，也即2sinA=2sin

π

4

=m，
所以m=

2

．
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的基本定理、向量數(shù)量積運(yùn)算、正弦定理等知識(shí)，本題解答的關(guān)鍵是兩邊同乘向量

OA

，具有一定技巧．