Question

已知函數(shù)的圖像過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線的斜率是．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）求在區(qū)間上的最大值；

（3）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得是以為

直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊的中點(diǎn)在軸上？請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）．   （II）

對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上．                 （12分） 

【解析】本試題主要是考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）當(dāng)x＜1時(shí)，由f（x）=-x³+x²+bx+c，知f′（x）=-3x²+2x+b．依題意f′（-1）=-5，故b=0，再由f（0）=0，能求出c=0．

（2）當(dāng)x＜1時(shí)，由f（x）=-x³+x²，知f′（x）=-3x²+2x，令f′（x）=0，得x=0，x=

．列表討論，得f（-1）=2；f（0）=0；f（ ）= ；f（1）=0．由此進(jìn)行分類討論，能求出f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值．

（3）不妨設(shè)，則，顯然

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415481563964056/SYS201208241548501071875294_DA.files/image006.png">是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

所以，即結(jié)合方程有解來(lái)分析求解。