Question

如圖,點(diǎn)F(-c,0)為雙曲線C:=1(a＞0,b＞0)的左焦點(diǎn)，左準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)Q,點(diǎn)P是l上的一點(diǎn),已知|PQ|=|FQ|=1,且線段PF的中點(diǎn)M在雙曲線C的左支上.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若過(guò)點(diǎn)F的直線m與雙曲線C的左右兩支分別交于A、B兩點(diǎn),設(shè)=λ,當(dāng)λ∈［6,+∞)時(shí),求直線m的斜率k的取值范圍.

Answer 1

解:(1)由c²=a²+b²,①  |FQ|=c=1,∴b²=c.②

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M(-c+,).又M(-c+,)在雙曲線上,∴=1.③

聯(lián)立①②③,解得a=b=,c=2.∴雙曲線方程為x²-y²=2.

(2)由(1),F(-2,0),設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),直線m:y=k(x+2),

則由=λ,得x₂=λ(x₁+2)-2,y₂=λy₁.

由得(1-k²)y²-4ky+2k²=0.Δ=16k²-8k²(1-k²)=8k²(1+k²).

∴y₁+y₂=,y₁y₂=.

由y₂=λy₁,y₁+y₂=,y₁y₂=,消去y₁,y₂,得=λ++2.

∵λ≥6,函數(shù)g(λ)=λ++2在(1,+∞)上單調(diào)遞增,∴≥6++2=,

∴k²≥.又直線m與雙曲線的兩支相交,即方程(1-k²)y²-4ky+2k²=0兩根同號(hào),

∴k²＜1.∴≤k²＜1,故k∈(-1,］∪［,1).