Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b），點(diǎn)A（s，f（s）），B（t，f（t））．
（1）若a=0，b=3，函數(shù)f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，求t的取值范圍；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)任意的恒成立，求b的取值范圍；
（3）若0＜a＜b，函數(shù)f（x）在x=s和x=t處取得極值，且，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：直線OA與直線OB不可能垂直．

Answer 1

【答案】分析：（1）只要具體求出函數(shù)的極值點(diǎn)，讓兩個(gè)極值點(diǎn)在區(qū)間（t，t+3）即可；（2）把參數(shù)b分離出來(lái)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；（3）把s，t用a，b表示，在假設(shè)垂直的條件下即可得到a，b的關(guān)系式，根據(jù)不等式只要證明，即可根據(jù)反證法原理得到所證明的結(jié)論．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用．
解答：（1）當(dāng)a=0，b=3時(shí)，f（x）=x³-3x²，f'（x）=3x²-6x，令f'（x）=0得x=0，2，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以得出函數(shù)f（x）在x=0處取得極大值，在x=2處取得極小值．函數(shù)f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，則只要t＜0且t+3＞2即可，即只要-1＜t＜0即可．所以t的取值范圍是（-1，0）．（4分）
（2）當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)任意的恒成立，即x²-bx+lnx+1≥0對(duì)任意的恒成立，也即在對(duì)任意的恒成立．令，
則．
記m（x）=x²-lnx，則，則這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有唯一的極小值點(diǎn)，故也是最小值點(diǎn)，所以，從而g'（x）＞0，所以函數(shù)g（x）在單調(diào)遞增．函數(shù)．故只要即可．所以b的取值范圍是．（8分）
（3）假設(shè)，即，即（s，f（s））•（t，f（t））=st+f（s）f（t）=0，故（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1，即[st-（s+t）a+a²][st-（s+t）b+b²]=-1．
由于s，t是方程f'（x）=0的兩個(gè)根，故．
代入上式得ab（a-b）²=9.，即，與矛盾，所以直線OA與直線OB不可能垂直．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、單調(diào)性、最值等，考查反證法思想在解題中的應(yīng)用．本題的難點(diǎn)是第三問(wèn)，其關(guān)鍵是在等式（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1中，通過(guò)配項(xiàng)可以使用韋達(dá)定理消掉s，t得到關(guān)于a，b的等式，本題這個(gè)地方的技巧是極高的．