Question

如圖，在圓錐PO中，已知PO=，⊙OD的直徑AB=2，點(diǎn)C在上，且∠CAB=30°，D為AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AC⊥平面POD；
（Ⅱ）求直線OC和平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可證
（II）由（I）可證面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性質(zhì)考慮在平面POD中過O作OH⊥PD于H，則OH⊥平面PAC，∠OCH是直線OC和平面PAC所成的角，在Rt△OHC中，求解即可
解答：解（I）因?yàn)镺A=OC，D是AC的中點(diǎn)，所以AC⊥OD
又PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O
所以AC⊥PO，而OD，PO是平面內(nèi)的兩條相交直線
所以AC⊥平面POD
（II）由（I）知，AC⊥平面POD，又AC?平面PAC
所以平面POD⊥平面PAC
在平面POD中，過O作OH⊥PD于H，則OH⊥平面PAC
連接CH，則CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直線OC和平面PAC所成的角
在Rt△ODA中，OD=DA．sin30°=
在Rt△POD中，OH=
在Rt△OHC中，
故直線OC和平面PAC所成的角的正弦值為
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，空間直線與平面所成角的求解，考查了運(yùn)算推理的能力及空間想象的能力