Question

9．已知x＞0，y＞0，x+y+$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=10，求（x+y）_min．

Answer 1

分析 先設x+y=a，得到$\frac{1}{a}$（x+y）=1，從而有x+y+$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=a+$\frac{16}{a}$，進而得到不等式10≥a+$\frac{16}{a}$，解出即可．

解答 解：設x+y=a，顯然a＞0，
則$\frac{1}{a}$（x+y）=1，
∴x+y+$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$
=a+$\frac{1}{a}$（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）
=a+$\frac{10}{a}$+$\frac{1}{a}$•2$\sqrt{\frac{9x}{y}•\frac{y}{x}}$
=a+$\frac{16}{a}$，
當且僅當3x=y時“=”成立，
∴10≥a+$\frac{16}{a}$，
∴a²-10a+16≤0，
解得：2≤a≤8．
∴（x+y）_min=2．

點評 本題考查了基本不等式的性質，設x+y=a，得到$\frac{1}{a}$（x+y）=1是解題的關鍵，是一道中檔題．