Question

已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別為A（-3，0）、B（9，5）、C（3，9），直線l經(jīng)過C把三角形的面積為1：2兩部分，求直線l的方程．

Answer 1

分析：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足條件． 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由 k≥k_CA，或 k≤K_CB，求出k 的范圍，求出A、B兩點(diǎn)到直線直線l 的距離，由A、B兩點(diǎn)到直線直線l 的距離之比等于1：2或 2：1，求出k值，用點(diǎn)斜式求得直線l的方程．

解答：解：設(shè)直線l與線段AB的交點(diǎn)為D，則A、B兩點(diǎn)到直線直線l 的距離之比等于1：2或 2：1，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為 x=3，A到直線l的距離為6，B到直線l的距離為 6，不滿足條件．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為 y-9=k（x-3），即 kx-y+9-3k=0，
由題意知，k≥k_CA，或 k≤K_CB，∴k≥

9-0

3+3

=

3

2

，或 k≤

9-5

3-9

=-

4

3

．
即k≥

3

2

，或 k≤-

4

3

．
A到直線l的距離為 

|-3k-0+9-3k|

k2+1

=

|9-6k|

k2+1

，B到直線l的距離為

|9k-5+9-3k|

k2+1

=

|4+6k|

k2+1

，
由題意得 

|9-6k|

|4+6k|

=

1

2

，或  

|9-6k|

|4+6k|

=2，解得 k=

11

3

 或 k=-

17

6

．
故直線l的方程為 

11

3

x -y -2= 0，或-

17

6

x-y+

35

2

=0．
即11x-3y-6=0或17x+6y-105=0，
故直線l的方程為11x-3y-6=0，或17x+6y-105=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用點(diǎn)斜式求直線方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，求出直線l的斜率k 的范圍是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．