Question

（2013•黃岡模擬）已知向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），設函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（I）求f（x）的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若A=

π

3

，b=f（

5π

6

），△ABC的面積為

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）利用數(shù)量積運算和兩角和的正弦公式及周期公式即可得出；
（II）利用特殊角的三角函數(shù)值、三角形的面積計算公式及余弦定理即可得出．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

m

•

n

=

3

sin2x+2+2cos2x
=

3

sin2x+cos2x+3
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+3
=2sin(2x+

π

6

)+3
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（Ⅱ）b=f(

5π

6

)=2sin

11π

6

+3=-2×

1

2

+3=2．
∴S△=

1

2

bcsinA=

3

2

，∴

1

2

×2csin

π

3

=

3

2

，解得c=1．
在△ABC中，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=22+1-2×2×1×cos

π

3

=3，
∴a=

3

．

點評：本題考查了數(shù)量積運算和兩角和的正弦公式及周期公式、特殊角的三角函數(shù)值、三角形的面積計算公式及余弦定理等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．