在直角坐標(biāo)系內(nèi),△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)C、A的坐標(biāo)分別為(-
3
,0),(
3
,0)
,三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足2sinB=
3
(sinA+sinC)

(1)求頂點(diǎn)B的軌跡方程;
(2)過點(diǎn)C做傾斜角為θ的直線與頂點(diǎn)B的軌跡交于P、Q兩點(diǎn),當(dāng)θ∈(0,
π
2
)
時(shí),求△APQ面積的最大值.
分析:(1)由2sinB=
3
(sinA+sinC)
,根據(jù)正弦定理得2b=
3
(a+c)
,結(jié)合b=2
3
,可得a+c=4由橢圓定義知頂點(diǎn)B的軌跡為橢圓,可求
(2)設(shè)PQ方程為y=tanθ(x+
3
)聯(lián)立直線與橢圓方程,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求得x1+x1,x1x2,然后可求|PQ|及點(diǎn)A到PQ的距離d,代入可求△ABC的面積,由基本不等式可求最大值
解答:解:(1)因?yàn)?sinB=
3
(sinA+sinC)
,根據(jù)正弦定理得2b=
3
(a+c)

又b=2
3
,所以a+c=4由橢圓定義知頂點(diǎn)B的軌跡為橢圓,其方程為
x2
4
+y2=1(y≠0)

(2)設(shè)PQ方程為y=tanθ(x+
3
),θ∈(0,
π
2
)

y=tanθ(x+
3
)
x2
4
+y2=1
得(1+4tan2θ)x2+8
3
xtan2θ+12tan2θ-4=0
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=
-8
3
tan2θ
1+4tan2θ
,x1x2=
12tan2θ-4
1+4tan2θ
,
又|PQ|=
4(1+tan2θ)
1+4tan2θ
,點(diǎn)A到PQ的距離d=
|2
3
tanθ|
1+tan2θ
,θ∈(0,
π
2
)

S△ABC=
4
3
tanθ•secθ
1+4tan2θ
=
4
3
sinθ
1+3sin2θ
=
4
3
1
sinθ
+3sinθ
≤2
當(dāng)且僅當(dāng)
1
sinθ
=3sinθ,即θ=arcsin
3
3
時(shí)取等號(hào),△APQ的最大面積為2.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了由三角形的正弦定理求解點(diǎn)的軌跡方程,直線與曲線相交關(guān)系的應(yīng)用,方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用,屬于綜合試題
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OA
=(1,4)
,
OB
=(5,10)
,
OC
=(2,k)

(1)若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形,且∠B為直角,求實(shí)數(shù)k的值;
(2)若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成以AB為底邊的等腰三角形,求∠ACB的余弦值.

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