Question

已知f（x）滿足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，
（1）求二次函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＞2x+m在[-1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出函數(shù)f（x）的解析式，分別由f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，求出a，b，c的值；
（2）將不等式變形為m＜x²-3x+1的形式，求出x²-3x+1在區(qū)間[-1，1]上的最小值即可．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c
由f（0）=1，得c=1，
由f（x+1）-f（x）=2x得：
a（x+1）²+b（x+1）+1-ax²-bx-1=2x，
化簡(jiǎn)，解得：a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1．
（2）由題f（x）=x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立，
即m＜x²-3x+1，x∈[-1，1]，
令y=x²-3x+1，對(duì)稱軸x=

3

2

，
∴函數(shù)y=x²-3x+1在[-1，1]單調(diào)遞減，
則m＜（x²-3x+1）_min=-1，
∴m＜-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，本題是一道基礎(chǔ)題．