Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的圖象過(guò)點(diǎn)P（1，f（1）），且在點(diǎn)P處的切線的方程為y=8x-6．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（sinx）的最值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)切點(diǎn)既在切線上又在函數(shù)f（x）的圖象上，建立一等式關(guān)系，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，建立另一關(guān)系式，解方程組即可求出a和b的值；
（II）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（III）設(shè)sinx=t，則問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（t）（-1≤t≤1）的最值，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)f（sinx）的最值．

解答：（Ⅰ）解：∵點(diǎn)P在切線上，
∴f（1）=2．
∴a+b=1．①（2分）
又函數(shù)圖象在點(diǎn)P處的切線斜率為8，
∴f'（1）=8，
又f'（x）=3x²+2ax+b，
∴2a+b=5．②（4分）
解由①②組成的方程組，可得a=4，b=-3．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=3x²+8x-3，
令f'（x）＞0，可得x＜-3或x＞

1

3

；
令f'（x）＜0，可得-3＜x＜

1

3

．（7分）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-3)，?(

1

3

，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(-3，

1

3

)．（9分）
（Ⅲ）設(shè)sinx=t，則問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（t）（-1≤t≤1）的最值，
由（Ⅱ）可知f（t）在(-1，

1

3

)上是減函數(shù)，在(

1

3

，1)上是增函數(shù)．
∴f（t）的最小值為f(

1

3

)=

1

27

+

4

9

-1=-

14

27

．（11分）
又f（-1）=6，f（1）=2，
∴f（t）的最大值為f（-1）=6．
∴函數(shù)f（sinx）的最小值為-

14

27

，最大值為6．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一綜合題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，以及三角函數(shù)的應(yīng)用．