Question

北京奧運會紀念章特許專營店銷售紀念章，每枚進價為5元，同時每銷售一枚這種紀念章還需向北京奧組委交特許經營管理費2元，預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時，該店一年可銷售2000枚，經過市場調研發(fā)現(xiàn)每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎上每減少一元則增加銷售400枚，而每增加一元則減少銷售100枚，現(xiàn)設每枚紀念章的銷售價格為x元（x∈N*）．
（Ⅰ）寫出該特許專營店一年內銷售這種紀念章所獲得的利潤y（元）與每枚紀念章的銷售價格x的函數關系式（并寫出這個函數的定義域）；
（Ⅱ）當每枚紀念章的銷售價格x為多少元時，該特許專營店一年內利潤y（元）最大，并求出這個最大值．

Answer 1

（Ⅰ）依題得y=

[2000+400(20-x)](x-7)    7＜x≤20 [2000-100(x-20)](x-7)     20＜x＜40

x∈N⁺
y=

400(25-x)(x-7)    7＜x≤20 x∈N+ 100(40-x)(x-7)     20＜x＜40 x∈N+

此函數的定義域為{x|7＜x＜40，x∈N^*}
（Ⅱ）y=

400[-(x-16)2+81] 7＜x≤20 x∈N+ 100[-(x- 47 2 )2+ 1089 4 ] 20＜x＜40 x∈N+

，
當7＜x≤20，則當x=16時，y_max=32400（元）；
當20＜x＜40，因為x∈N^*，所以當x=23或24時，y_max=27200（元）；
綜合上可得當x=16時，該特許專營店獲得的利潤最大為32400元．