已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）若是的一個極值點(diǎn)，且點(diǎn)，滿足條件：.
（�。┣�的值；
（ⅱ）求證：點(diǎn)，，是三個不同的點(diǎn)，且構(gòu)成直角三角形．

（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）參考解析

解析試題分析：（1）由函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并計算即所求切線方程的斜率，又過點(diǎn).即可求出結(jié)論.
（2）（�。┯桑�1）得到的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)的極值點(diǎn)，即得到的值.
（ⅱ）需求證：點(diǎn)，，是三個不同的點(diǎn)，通過分類每兩個點(diǎn)重合，利用已知條件即方程的根的個數(shù)來判定即可得到三點(diǎn)是不同點(diǎn)的點(diǎn).通過向量的數(shù)量積可得到三點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形.
（1），                                    2分
，又，                                  4分
所以曲線在處的切線方程為，
即．                                               5分
（2）（�。⿲τ�，定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/e0/eb/e0eebd9846afa22ed219f4126e1c92bc.png" style="vertical-align:middle;" />．
當(dāng)時，，，∴；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，，∴，                 8分
所以存在唯一的極值點(diǎn)，∴，則點(diǎn)為．                9分
（ⅱ）若，則，，
與條件不符，從而得．
同理可得．                                      10分
若，由，此方程無實(shí)數(shù)解，
從而得．                                       11分
由上可得點(diǎn)，，兩兩不重合．
又


從而

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)函數(shù)在處取得極值1.
（1）求實(shí)數(shù)b，c的值；
（2）求在區(qū)間[-2，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，
（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)（是自然常數(shù)）時，函數(shù)的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
（3）當(dāng)時，證明：.

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設(shè)函數(shù).
（1）若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求a，b的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

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已知函數(shù)．若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)．已知a，b是實(shí)數(shù)，1和－1是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點(diǎn)．
(1)求a和b的值；
(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的極值點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（2013•天津）已知函數(shù)f（x）=x2lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：對任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．
（3）設(shè)（2）中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s=g（t），證明：當(dāng)t＞e2時，有．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）試求函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）試求函數(shù)在區(qū)間上的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某風(fēng)景區(qū)在一個直徑AB為100米的半圓形花園中設(shè)計一條觀光線路（如圖所示）．在點(diǎn)A與圓
弧上的一點(diǎn)C之間設(shè)計為直線段小路，在路的兩側(cè)邊緣種植綠化帶；從點(diǎn)C到點(diǎn)B設(shè)計為沿弧的弧形小路，在路的一側(cè)邊緣種植綠化帶．（注：小路及綠化帶的寬度忽略不計）
（1）設(shè)（弧度），將綠化帶總長度表示為的函數(shù)；
（2）試確定的值，使得綠化帶總長度最大．

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