Question

14．在矩形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，記△DEF三邊及內(nèi)部組成的區(qū)域?yàn)棣福?\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，當(dāng)點(diǎn)P在Ω上運(yùn)動(dòng)時(shí)，2x+3y的最大值為$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 以AB，AD所在的直線為x，y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=2a，AD=2b，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得m=2ax，n=2by，再根據(jù)線性規(guī)劃求出最大值．

解答 解：以AB，AD所在的直線為x，y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
不妨設(shè)AB=2a，AD=2b，
則A（0，0），B（2a，0），D（0，2b），
∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，
∴E（a，0），F(xiàn)（2a，b），
再設(shè)P（m，n），則0≤m≤2a，0≤n≤2b，
∵$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，
∴（m，n）=x（2a，0）+y（0，2b）=（2ax，2by），
∴m=2ax，n=2by，
∴設(shè)z=2x+3y=$\frac{m}{a}$+$\frac{3n}{2b}$，
∴n=-$\frac{2b}{3a}$m+$\frac{2b}{3}$z，
平移直線n=-$\frac{2b}{3a}$m+$\frac{2b}{3}$z，當(dāng)與y軸上的截距最大時(shí)，此時(shí)z最大，
若經(jīng)過點(diǎn)F（2a，b）時(shí)，最大，此時(shí)z=2a×$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{2b}$×b=$\frac{7}{2}$，
若經(jīng)過點(diǎn)D（0，b）時(shí)，最大，此時(shí)z=0×$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{2b}$×2b=3，
綜上所述2x+3y的最大值為$\frac{7}{2}$，
故答案為：$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和和線性規(guī)劃的問題，屬于中檔題