Question

如圖，A是以BC為直徑的⊙O上一點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作⊙O的切線，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，G是AD的中點(diǎn)，連結(jié)CG并延長(zhǎng)與BE相交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AF與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．
（1）求證：BF=EF；
（2）求證：PA是⊙O的切線；
（3）若FG=BF，且的⊙O半徑長(zhǎng)為3

2

，求BD和FG的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)切線判定知道EB⊥BC，而AD⊥BC，從而可以確定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又G是AD的中點(diǎn)，就可得出結(jié)論BF=EF．
（2）要證PA是⊙O的切線，就是要證明∠PAO=90°連接AO，AB，根據(jù)第1的結(jié)論和BE是⊙O的切線和直角三角形的等量代換，就可得出結(jié)論．
（3）點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，根據(jù)前兩問的結(jié)論，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD和FG的長(zhǎng)度．

解答： （1）證明：∵BC是圓O的直徑，BE是圓O的切線，
∴EB⊥BC，又∵AD⊥BC，∴AD∥BE，
∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴

BF

DG

=

EF

AG

，
∵G是AD的中點(diǎn)，∴DG=AG，∴BF=EF．
（2）證明：連結(jié)AO，AB，
∵BC是圓O的直徑，∴∠BAC=90°，
在Rt△BAE中，由（1）知F是斜邊BE的中點(diǎn)，
∴AF=FB=EF，∴∠FBA=∠FAB，
又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，
∵BE是圓O的切線，∴∠EBO=90°，
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，
∴PA是圓O的切線．
（3）解：過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，
∵BD⊥AD，F(xiàn)H⊥AD，∴FH∥BC，
由（2）知∠FBA=∠BAF，∴BF=AF，
由已知得BF=FG，∴AF=FG，∴△AFG是等腰三角形，
∵FH⊥AD，∴AH=GH，∵DG=AG，∴DG=2HG，∴

HG

DG

=

1

2

，
∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°，∴四邊形BDHF是矩形，BD=FH，
∵FH∥BC，∴△HFG∽△DCG，∴

FH

CD

=

FG

CG

=

HG

DG

=

1

2

=

BD

CD

，
∵圓O的半徑長(zhǎng)為3

2

，
∴BC=6

2

．
∴

BD

CD

=

BD

BC-BD

=

BD

6 2 -BD

=

1

2

．
解得BD=2

2

．∴BD=FH=2

2

．
∵

FG

CG

=

HG

DG

=

1

2

，∴CF=3FG．
在Rt△FBC中，∵CF=3FG，BF=FG，
∴CF²=BF²+BC²，∴（3FG）²=FG²+（6

2

）²
解得FG=3（負(fù)值舍去）
∴FG=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．