如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點．

(1)求證：AB1⊥面A1BD；

(2)求二面角A－A1D－B的正弦值；

答案：
解析：

　　解答：解法一：

　　(1)取中點，連結(jié)．

　　為正三角形，．

　　正三棱柱中，

　　平面平面，

　　平面．　2分

　　連結(jié)，

　　在正方形中，分別為

　　的中點，

　　，　4分

　　．在正方形中，，

　　平面．　6分

　　(2)設(shè)與交于點，在平面中，作于，連結(jié)，

　　由(Ⅰ)得平面．，

　　為二面角的平面角．　8分

　　在中，由等面積法可求得，又，

　　．

　　所以二面角的正弦大小　12分

　　解法二：

　　(1)取中點，連結(jié)．為正三角形，．

　　在正三棱柱中，平面平面，

　　平面．　2分

　　取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向

　　建立空間直角坐標(biāo)系，　3分

　　則，，，，，

　　，，．

　　，，

　　，．

　　平面．　6分

　　(2)設(shè)平面的法向量為

　　，．

　　，，

　　

　　

　　令得為平面的一個法向量．　9分

　　由(1)知平面，為平面的法向量．

　　，．

　　二面角的正弦大小為　12分


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長都等于a，E是BB1的中點．
（1）求直線C1B與平面A1ABB1所成角的正弦值；
（2）求證：平面AEC1⊥平面ACC1A1；
（3）求點C1到平面AEC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點，則EF的長是（　　）
A、2
B、
3
C、
5
D、
7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點．
（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A-A1D-B的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•鄭州二模）如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點．
（Ⅰ）求證：AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）設(shè)點O為AB1上的動點，當(dāng)OD∥平面ABC時，求
AOOB1
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中（注：底面為正三角形且側(cè)棱與底面垂直），BC=CC1=2，P，Q分別為BB1，CC1的中點．
（Ⅰ）求多面體ABC-A1PC1的體積；
（Ⅱ）求A1Q與BC1所成角的大小．

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