Question

2010年我國(guó)西南地區(qū)遭受特大旱災(zāi)，某地政府決定興修水利，某灌渠的橫截面設(shè)計(jì)方案如圖所示，橫截面邊界AOB設(shè)計(jì)為拋物線型，渠寬AB為2m，渠深OC為1.5m，正常灌溉時(shí)水面EF距AB為0.5m．
（1）求水面EF的寬度；
（2）為了使灌渠流量加大，將此水渠的橫截面改造為等腰梯形，受地理?xiàng)l件限制要求渠深不變，不準(zhǔn)往回填土，只準(zhǔn)挖土，試求截面等腰梯形的下底邊長(zhǎng)為多大時(shí)，才能使所挖的土最少？

Answer 1

分析：（1）先建立直角坐標(biāo)系，從而可得到A，B，C的坐標(biāo)，然后設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式，將A的坐標(biāo)代入即可得到拋物線的方程，再結(jié)合點(diǎn)E的縱坐標(biāo)可求得其橫坐標(biāo)，從而可求得EF的寬度．
（2）先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)沿過(guò)點(diǎn)M與拋物線相切的切線挖土?xí)r挖出的土最少，然后對(duì)拋物線方程進(jìn)行求導(dǎo)，求得點(diǎn)M的切線的斜率，表示出切線方程，然后令y=0、

3

2

，求得對(duì)應(yīng)的x的值，從而表示出截面面積，最后根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可求得t的值．

解答：解：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（-1，1.5），B（1，1.5），C（0，1.5）．

設(shè)拋物線方程為x²=2py（p＞0），由點(diǎn)A（-1，1.5）代入方程，得到1=2p×1.5，即p=

1

3

，所以拋物線方程為x²=

2

3

y，
由點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1，得到點(diǎn)E橫坐標(biāo)為-

6

3

，所以截面圖中水面寬度為

2 6

3

m．
（2）設(shè)拋物線上一點(diǎn)M(t，

3

2

t2)(t＞0)，因?yàn)楦脑焖�渠時(shí)只準(zhǔn)挖土，而且要求挖出的土最少，
所以只能沿過(guò)點(diǎn)M與拋物線相切的切線挖土．
由x2=

2

3

y，即y=

3

2

x2，求導(dǎo)得y'=3x，所以過(guò)點(diǎn)M的切線斜率為3t，切線方程為y-

3

2

t2=3t(x-t)，
令y=0，則x1=

t

2

，令y=

3

2

，則x2=

t

2

+

1

2t

，
所以截面面積為S=

1

2

(2x1+2x2)×

3

2

=

3

2

(t+

1

2t

)≥

3 2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)t=

2

2

時(shí)等號(hào)成立．
所以截面梯形的下底邊長(zhǎng)為

2

2

m時(shí)，才能使所挖的土最少．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線在實(shí)際生活中的應(yīng)用．拋物線在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用很廣泛，在高考中也占據(jù)很重要的地位，所以希望廣大考生在學(xué)習(xí)這里的知識(shí)時(shí)能夠做到活學(xué)活用．