Question

已知a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x²-2alnx．
（1）求f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）；
（2）若a＞0，試證明：“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要條件是“”．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數(shù)，對a分類討論，確定函數(shù)的單調性，即可求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）；
（2）分必要性與充分性進行論證，正確構造函數(shù)g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，將方程f（x）=2ax有唯一解，轉化為g（x）=0有唯一解，即可得證．
解答：（1）解：求導函數(shù)，可得（x＞1）
①a≤1，x＞1，則f′（x）＞0，∴f（x）在[1，+∞）上是單調遞增函數(shù)，∴f（x）_min=f（1）=1；
②a＞1，x＞1，令f′（x）=0，可得
當時，f′（x）＜0，函數(shù)在[1，+∞）上是單調遞減函數(shù)；當時，f′（x）＞0，函數(shù)在[1，+∞）上是單調遞增函數(shù)，
∴時，f（x）_min=a-alna
∴；
（2）證明：記g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，則 
①充分性：若，則g（x）=x²-lnx-x，
當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上是單調遞減函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上是單調遞增函數(shù)，
∴當x=1時，g（x）_min=g（1）=0，即g（x）≥0，當且僅當x=1時取等號，
∴方程f（x）=2ax有唯一解；
②必要性：若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解，令g′（x）=0，可得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，∴（另一根舍去）
當x∈（0，x₁）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₁）上是單調遞減函數(shù)；
當x∈（x₁，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上是單調遞增函數(shù)．
∴當x=x₂時，g′（x₁）=0，g（x）_min=g（x₁），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₁）=0，
∴
∴
∴2alnx₁+ax₁-a=0
∵a＞0
∴2lnx₁+x₁-1=0
設函數(shù)h（x）=2lnx+x-1
∵x＞0時，h（x）是增函數(shù)，∴h（x）=0至多有一解．
∵h（1）=0，∴方程2lnx₁+x₁-1=0的解為x₁=1，即，∴
由①②知，“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要條件是“”．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性與最值，考查充要性的證明，考查分類討論是數(shù)學思想，難度大．