Question

21、已知|

EF

|=2c，|

EF

|=2a（a＞c），2

EH

=

EG

，2

EO

=

EF

，

HP

•

EG

=0（G為動(dòng)點(diǎn)） （a＞c）．
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)P的軌跡上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，且線段AB的中垂線與EF（或EF的延長(zhǎng)線）有唯一的交點(diǎn)C，證明：|

OC

|＜

c2

a

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量式轉(zhuǎn)化成：|PE|+|PF|=|PG|+|PF|=|FG|=2a（＞|EF|），結(jié)合橢圓的定義得點(diǎn)P的軌跡為橢圓，最后寫出軌跡方程即可；
（2）先設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．A，B的中點(diǎn)M（x₀，y₀），C（t，0）．分類討論：①當(dāng)k_CM不存在時(shí)，顯然成立．
②當(dāng)k_CM存在時(shí)，利用“點(diǎn)差法”得直線AB的斜率，再結(jié)合題中條件：“k_AB•k_CM=-1．”即可證得結(jié)論．

解答：解：（1）|PE|+|PF|=|PG|+|PF|=|FG|=2a（＞|EF|），∴點(diǎn)P的軌跡為橢圓
∴軌跡方程為

x2

a2

+

y2

a2-c2

=1
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．A，B的中點(diǎn)M（x₀，y₀），C（t，0）．
當(dāng)k_CM不存在時(shí)，顯然成立．
當(dāng)k_CM存在時(shí)，k_CM=

y0

x0-t

．由“點(diǎn)差法”得：kAB=-

a2-c2

a2

•

x0

y0

∵k_AB•k_CM=-1.x0=

a2-t

c2

∵|x0|＜a∴|

a2-t

c2

|＜a∴|t|＜

c2

a

即|

OC

|＜

c2

a

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的應(yīng)用、軌跡方程、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，解答的關(guān)鍵是利用設(shè)而不求的方法：“點(diǎn)差法”．