Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{\frac{x+3}{x-2}-2}$的定義域是A，關(guān)于x的不等式x²-（a+3）x+3a＜0的解集為B．
（1）求集合B；
（2）已知α：x∈A，β：x∈B，若α是β的必要不充分條件，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)充分條件和必要條件的定義轉(zhuǎn)化為B?A，利用不等式的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由$\frac{x+3}{x-2}$-2≥0得$\frac{7-x}{x-2}$≥0，得2＜x≤7，即A=（2，7]，
由x²-（a+3）x+3a＜0得（x-3）（x-a）＜0，
若a=3，則不等式的解集為B=∅，
若a＞3，則不等式的解集為B=（3，a），
若a＜3，則不等式的解集為B=（a，3）．
（2）若α是β的必要不充分條件，
則B?A，
則當(dāng)a=3時，滿足條件，
若a＞3，則a≤7，此時3＜a≤7，
若a＜3，則a≥2，此時2≤a＜3，
綜上，2≤a≤7．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，7]．

點(diǎn)評 本題主要考查一元二次不等式的求解，以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，根據(jù)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．注意要進(jìn)行分類討論．