Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax+1，a∈R．
（Ⅰ）求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）利用不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=a+$\frac{1}{x}$，
則f′（1）=a+1，
f（1）=ln1+a+1=a+1，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，a+1），
則f（x）在x=1處的切線方程為y-（a+1）=（a+1）（x-1）；
即y=（a+1）x．
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0恒成立得lnx+ax+1≤0恒成立，即ax≤-（1+lnx），
則a≤-$\frac{1+lnx}{x}$，
設(shè)g（x）=-$\frac{1+lnx}{x}$，則g′（x）=-$\frac{\frac{1}{x}•x-（1+lnx）}{{x}^{2}}$=-$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0得lnx＞0，得x＞1，此時(shí)函數(shù)遞增，
由g′（x）＜0得lnx＜0，得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)遞減，
即當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值，此時(shí)g（1）=-$\frac{1+ln1}{1}$=-1，
則g（x）≥-1，
則a≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．