Question

如圖，AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，D，E分別是VB，VC的中點，VA⊥平面ABC．
（Ⅰ）求異面直線DE與AB所成的角；
（Ⅱ）證明DE⊥平面VAC．

Answer 1

【答案】分析：（1）將ED平移到BC，易證∠ABC是異面直線DE與AB所成的角，而△ABC是以∠ACB為直角的等腰直角三角形，則∠ABC為45°
（2）欲證DE⊥平面VAC，而BC∥DE，可先證BC⊥平面VAC，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證BC⊥VA，BC⊥AC即可．
解答：解（Ⅰ）因為D，E分別是VB，VC的中點，
所以BC∥DE，因此∠ABC是異面直線DE
與AB所成的角．（3分）
又因為AB是圓O的直徑，點C是弧AB的
中點，所以△ABC是以∠ACB為直角的等腰直角三角形．于是∠ABC=45°．
故異面直線DE與AB所成的角為45°．（6分）
（Ⅱ）因為VA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥VA．（8分）
由（Ⅰ）知，BC⊥AC，所以BC⊥平面VAC．（10分）
又由（Ⅰ）知，BC∥DE，故DE⊥平面VAC．（12分）
點評：本題主要考查線線，線面關(guān)系的基礎(chǔ)知識，以及直線與平面垂直的判定，同時考查空間想象能力和推理運算能力，屬于基礎(chǔ)題．