Question

在直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到直線的距離的倍，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為W，過點(diǎn)A（a，0）（a＞0）作一條斜率為k（k＜0）的直線交曲線W于B，C兩點(diǎn)，且交y軸于點(diǎn)D．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡，并指出它的三條性質(zhì)或特征；
（2）求證：|AB|=|CD|；
（3）若|BC|=|BD|，求△OAD的面積．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據(jù)動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到直線的距離的倍，整理可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為為xy=1雙曲線，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)寫出其性質(zhì)即可；
（2）直線方程為y=k（x-a），聯(lián)立直線方程與雙曲線方程整理求出BC中點(diǎn)以及AD的中點(diǎn)，只要中點(diǎn)坐標(biāo)相同即可說明結(jié)論．
（3）先根據(jù)|BC|=|BD|，得到x₂=2x₁，結(jié)合上面的結(jié)論得到k和a之間的關(guān)系，再代入三角形的面積公式整理即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)M（x，y），
依題意有：．化簡得xy=1．
即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為xy=1雙曲線，其性質(zhì)為                            （4分）
（1）焦點(diǎn)（）（2）實(shí)軸長2（3）虛軸長2
（4）對稱性y=±x，（0，0）（5）漸近線x=0，y=0等                 （8分）
（2）直線方程為y=k（x-a），由得
kx²-kax-1=0．
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC中點(diǎn)為N（x，y），
．
又D（0，-ka）
∴．
由|AN|=|DN|，|BN|=|CN|，
可得|AB|=|CD|（14分）
（3）若|BC|=|BD|，可知x₁＜x₂，
則x₁=x₂-x₁，即x₂=2x₁，
，
．
又|OA|=a，|OD|=-ka，
∴S_△OCD=．（18分）
點(diǎn)評：本題主要考查軌跡方程的求法以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到直線的距離的倍，整理得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．