對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)列數(shù)集{an}，記bk=max{a1，a2，…，ak}（k=1，2，…，m），即bk為a1，a2，…，ak中的最大值，并稱數(shù)列{bn}是{an}的控制數(shù)列．如1，3，2，5，5的控制數(shù)列是1，3，3，5，5．
（1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列{an}的控制數(shù)列為2，3，4，5，5，寫出所有的{an}；
（2）設(shè){bn}是{an}的控制數(shù)列，滿足ak+bm-k+1=C（C為常數(shù)，k=1，2，…，m）．求證：bk=ak（k=1，2，…，m）．
分析：（1）根據(jù)控制數(shù)列的定義，進(jìn)行列舉即可得到數(shù)列{an}；
（2）依題意可得bk+1≥bk，根據(jù)ak+bm-k+1=C，ak+1+bm-k=C，證明ak+1-ak=bm-k+1-bm-k≥0，即證得結(jié)論．
解答：（1）解：數(shù)列{an}為：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4；2，3，4，5，5．
（2）證明：因?yàn)閎k=max{a1，a2，…，ak}，bk+1=max{a1，a2，…，ak，ak+1}，所以bk+1≥bk．
因?yàn)閍k+bm-k+1=C，ak+1+bm-k=C，
所以ak+1-ak=bm-k+1-bm-k≥0，即ak+1≥ak．
因此，bk=ak．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查對(duì)抽象概念的理解與綜合應(yīng)用的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)m＞3，對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)列{an}，令bk為a1，a2，…ak（k≤m）中最大值，稱數(shù)列{bn}為{an}的“創(chuàng)新數(shù)列”．例如數(shù)列3，5，4，7的創(chuàng)新數(shù)列為3，5，5，7．考查自然數(shù)1，2，…m（m＞3）的所有排列，將每種排列都視為一個(gè)有窮數(shù)列{cn}．若m=4，則創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，4的所有數(shù)列{cn} 為
3，4，2，1或3，4，1，2
3，4，2，1或3，4，1，2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•上海）對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)列{an}，記bk=max{a1，a2，…，ak}（k=1，2，…，m），即bk為a1，a2，…，ak中的最大值，并稱數(shù)列{bn}是{an}的控制數(shù)列，如1，3，2，5，5的控制數(shù)列是1，3，3，5，5．
（1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列{an}的控制數(shù)列為2，3，4，5，5，寫出所有的{an}．
（2）設(shè){bn}是{an}的控制數(shù)列，滿足ak+bm-k+1=C（C為常數(shù)，k=1，2，…，m），求證：bk=ak（k=1，2，…，m）．
（3）設(shè)m=100，常數(shù)a∈(
1
2
，1)，若an=an2-(-1)
n(n+1)
2
n，{bn}是{an}的控制數(shù)列，求（b1-a1）+（b2-a2）+…+（b100-a100）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•房山區(qū)二模）設(shè)m＞3，對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)列{an}，令bk為a1，a2，a3…ak（k≤m）中的最大值，稱數(shù)列{bn}為{an}的“創(chuàng)新數(shù)列”．例如數(shù)列3，5，4，7的創(chuàng)新數(shù)列為3，5，5，7．考查自然數(shù)1、2…m（m＞3）的所有排列，將每種排列都視為一個(gè)有窮數(shù)列{cn}．
（Ⅰ）若m=5，寫出創(chuàng)新數(shù)列為3，5，5，5，5的所有數(shù)列{cn}；
（Ⅱ）是否存在數(shù)列{cn}的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出符合條件的創(chuàng)新數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅲ）是否存在數(shù)列{cn}，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的數(shù)列{cn}的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（上海卷解析版） 題型：解答題

對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)列數(shù)集，記（k=1,2,…,m），即為中的最大值，并稱數(shù)列是的控制數(shù)列.如1,3,2,5,5的控制數(shù)列是1,3,3,5,5.

    （1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為2,3,4,5,5，寫出所有的；（4分）

    （2）設(shè)是的控制數(shù)列，滿足（C為常數(shù)，k=1,2,…,m）.

求證：（k=1,2,…,m）；（6分）

    （3）設(shè)m=100，常數(shù).若，是的控制數(shù)列，

求.

 

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