Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a1=

1

2

，a_n=-2S_n•S_n-1（n≥2）
（Ⅰ）證明：{

1

Sn

}為等差數列；
（Ⅱ）求a_n．

Answer 1

分析：（1）將已知a_n=S_n-S_n-1=-2S_n•S_n-1（n≥2）的兩邊同除以S_nS_n-1，利用等差數列定義證{

1

Sn

}為等差數列；
（2）利用等差數列的通項公式求出

1

Sn

，進而可求S_n，代入已知a_n=-2S_n•S_n-1可求．

解答：（I）證明：∵a_n=S_n-S_n-1=-2S_n•S_n-1（n≥2）
∴

1

Sn-1

-

1

Sn

=-2即

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
∵

1

S1

=

1

a1

=2
∴{

1

Sn

}是以2為首項，以2為公差的等差數列       
（2）∵

1

Sn

=2+2(n-1)=2n
∴Sn=

1

2n

∴a_n=-2S_n•S_n-1=-2 •

1

2n

•

1

2(n-1)

=

-1

2n(n-1)

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等差數列求解通項公式，解答的關鍵是由a_n=S_n-S_n-1=-2S_n•S_n-1（n≥2）兩邊同除以S_nS_n-1