Question

如圖正方形場地ABCD邊長為200m，在A附近已先占用以A為圓心以100m為半徑的

1

4

圓的場地，今要在余下場地上建一矩形樓房，使矩形兩邊分別在BC和CD上，問：這幢樓房的最大占地面積是多少m²？

Answer 1

分析：求最值問題關鍵是構建三角函數(shù)模型，通過引入角參數(shù)，將面積關于參數(shù)的函數(shù)進行表示，從而求出面積的最大值．

解答：解：連接AP，延長MP交AB于Q，設∠APQ=θ（0°≤θ≤90°），則AQ=100cosθ，PQ=100sinθ
∴PN=200-100cosθ，PM=200-100sinθ
∴S=PN•PM=（200-100cosθ）（200-100sinθ）=10000[4-2（sinθ+cosθ）+sinθcosθ]
設t=sinθ+cosθ(1≤t≤

2

)，則sinθcosθ=

t2-1

2

S=10000[4-2t+

t2-1

2

]=5000(t-2)2+15000
當t=1時，S的最大值為20000m²，
答：這幢樓房的最大占地面積是20000m²

點評：將實際問題轉化為數(shù)學問題，用相關的數(shù)學知識解答，是解決實際問題的關鍵．本題求最值時需注意引入新變元時其范圍的變化．