Question

已知數(shù)列{an}，a1=

5

2

，且滿足an-2n=

an-1-2n-1

2an-1-2n+1

(n∈N且n≥2)，又bn=

1

an-2n

．
（1）證明：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列c_n=na_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）把an-2n=

an-1-2n-1

2an-1-2n+1

取倒數(shù)得到b_n-b_n-1=2，從而得出{b_n}以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可求得數(shù)列{C_n}的通項(xiàng)公式，數(shù)列{c_n}中的n•2ⁿ由等差數(shù)列和等比數(shù)列構(gòu)成，進(jìn)而可用錯(cuò)位將減法求和．

解答：解：（1）把an-2n=

an-1-2n-1

2an-1-2n+1

取倒數(shù)得：

1

an-2n

=2+

1

an-1-2n-1

（n≥2）
又bn=

1

an-2n

，∴b_n-b_n-1=2，
∴{b_n}以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴b_n=2（n-1）+2=2n，
∴

1

an-2n

=2n，得an=

1

2n

+2n；
（2）∴C_n=na_n=

1

2

+n•2n，
T_n=（

1

2

+2）+（

1

2

+2•2²）+（

1

2

+3•23）+…+（

1

2

+n•2n）
=

n

2

+（1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）
記S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ①
2S_n=1×2²+2×2³+3×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹②
兩式相減得S_n=-（2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹）=n×2ⁿ⁺¹-（2ⁿ⁺¹-2）=2+（n-1）2ⁿ⁺¹
∴T_n=2+

n

2

+（n-1）×2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和問題．當(dāng)出現(xiàn)由等比數(shù)列和等差數(shù)列構(gòu)成的數(shù)列求和時(shí)，一般采用錯(cuò)位相減法．