Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC，∠BAC為直角，D，E分別為BC，AC的中點，AB=2PA．
（1）BC上是否存在一點F，使AD∥平面PEF？請說明理由；
（2）對于（1）中的點F，求AF與平面PEF所成角的正弦值．

Answer 1

解：（1）取CD的中點F，連接EF、PF
∵△ACD中，E、F分別為AC、CD的中點，
∴EF∥AD，且EF=AD
∵EF⊆平面PEF，AD?平面PEF，
∴AD∥平面PEF，
所以存在CD的中點F，使AD∥平面PEF．
（2）設(shè)PA=1，則AB=AC=2
∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，AD是BC邊的中線
∴BC=，且AD=BD=CD=BC=
Rt△ADF中，DF=CD=，可得AF==
∵PA⊥平面ABC，AF⊆平面ABC，
∴PA⊥AF，可得Rt△PAF中，PF==
同理可得Rt△PAE中，PE==
∴△PEF中，EF=AD=，可得cos∠EPF==

由同角三角函數(shù)關(guān)系，得sin∠EPF==
∴△EPF的面積S_△EPF=PE•PFsin∠EPF=×××=
∵△EAF的面積S_△EAF=S_△ADC=
∴三棱錐P-AEF的體積V=×S_△EAF×PA=
設(shè)A到平面PEF的距離為d，則V_A-PEF=×S_△EPF×d=
即d=，可得d=
所以AF與平面PEF所成角θ滿足sinθ==
∴AF與平面PEF所成角的正弦值等于
分析：（1）取CD的中點F，連接EF、PF，由三角形中位線定理，可得EF∥AD，再由線面平行的判定定理，可得AD∥平面PEF．
（2）設(shè)PA=1，則AB=AC=2，利用線面垂直的性質(zhì)結(jié)合勾股定理，得到△PEF的各邊長，再用正余弦定理算出其面積S_△PEF=．設(shè)A到平面PEF的距離為d，利用三棱錐的體積進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即得d=，最后根據(jù)線面所成角的性質(zhì)，得到AF與平面PEF所成角θ滿足sinθ==，從而得到答案．
點評：本題給出底面是等腰直角三角形且一條側(cè)棱與底面垂直的三棱錐，證明線面平行并求線面所成的角，著重考查了線面平行、垂直的判定與性質(zhì)和直線與平面所成角等知識，屬于中檔題．