Question

10．已知橢圓和雙曲線焦點F₁，F(xiàn)₂相同，且離心率互為倒數(shù)，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當∠F₁PF₂=60°時，橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 可設F₁P=m，F(xiàn)₂P=n，F(xiàn)₁F₂=2c，由余弦定理便得到4c²=m²+n²-mn，設a₁是橢圓的長半軸，a₁是雙曲線的實半軸，由橢圓及雙曲線定義即可得到m+n=2a₁，m-n=2a₁，從而可以求出m，n．再根據(jù)離心率互為倒數(shù)便可得到c²=a₁a₂，將m，n及c²都帶入上式便可得出a₁=3a₂，從而有$\frac{c}{{a}_{1}}•\frac{3c}{{a}_{1}}=1$，這樣便可求出橢圓的離心率．

解答 解：設F₁P=m，F(xiàn)₂P=n，F(xiàn)₁F₂=2c；
由余弦定理得，（2c）²=m²+n²-2mncos60°，即4c²=m²+n²-mn；
設a₁是橢圓的長半軸，a₂是雙曲線的實半軸；
由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a₁，m-n=2a₂；
∴m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，將它們代入前式得3a₂²-4c²+a₁²=0；
∵離心率互為倒數(shù)；
∴$\frac{c}{{a}_{1}}=\frac{{a}_{2}}{c}$，∴c²=a₁a₂；
∴$3{{a}_{2}}^{2}-4{a}_{1}{a}_{2}+{{a}_{1}}^{2}=（3{a}_{2}-{a}_{1}）$（a₂-a₁）=0；
根據(jù)題意，a₂≠a₁，∴a₁=3a₂；
∴e₁•e₂=$\frac{c}{{a}_{1}}•\frac{c}{{a}_{2}}=\frac{c}{{a}_{1}}•\frac{3c}{{a}_{1}}=1$
即3e₁²=1；
∴e₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點評 考查余弦定理，橢圓和雙曲線的焦點及離心率，離心率的計算公式，橢圓的長半軸，雙曲線的實半軸，以及橢圓和雙曲線的定義．