Question

已知對任意的實數(shù)m，直線x+y+m=0都不與曲線f（x）=x³-3ax（a∈R）相切．
（I）求實數(shù)a的取值范圍；
（II）當x∈[-1，1]時，函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在一點P，使得點P到x軸的距離不小于

1

4

．試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）由直線x+y+m=0得直線斜率為-1，直線x+y+m=0不與曲線f（x）相切知曲線f（x）上任一點斜率都不為-1，即f′（x）≠-1，求導(dǎo)函數(shù)，并求出其范圍[-3a，+∞），得不等式-3a＞-1，得實數(shù)a的取值范圍；
（II）轉(zhuǎn)化問題，等價于當x∈[-1，1]時，|f（x）|_max≥

1

4

，設(shè)g（x）=|f（x）|，觀察出g（x）在[-1，1]上是偶函數(shù)，只需求g（x）在[0，1]上的最大值，求函數(shù)單調(diào)性時，因為含有參數(shù)，所以要對參數(shù)進行討論，分為兩類求解，在每一類都可證明g（x）_max≥

1

4

，問題得證．

解答：解：（I）f′（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
∵對任意的實數(shù)m，直線x+y+m=0都不與曲線f（x）=x³-3ax（a∈R）相切，
∴-1∉[-3a，+∞），∴-3a＞-1，∴實數(shù)a的取值范圍為a＜

1

3

；
（II）存在，證明：問題等價于當x∈[-1，1]時，|f（x）|_max≥

1

4

，
設(shè)g（x）=|f（x）|，則g（x）在[-1，1]上是偶函數(shù)，
故只要證明當x∈[0，1]時，|f(x)|max≥

1

4

，
①當a≤0時，f′（x）=3x²-3a≥0，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，且f（0）=0，g（x）=f（x），
g（x）_max=f（1）=1-3a＞1＞

1

4

；
②當0＜a＜

1

3

時，f′（x）=3x²-3a=3（x+

a

）（x-

a

），
令f′（x）＜0，得0＜x＜

a

，令f′（x）＞0得

a

＜x＜1，
∴f（x）在[0，

a

]上單調(diào)遞減，在[

a

，1]上單調(diào)遞增，
注意到f(0)=f(

3a

)=0，且

a

＜

3a

＜1，
∴x∈（0，

3a

）時，g（x）=-f（x），x∈（

3a

，1]時，g（x）=f（x），
∴g（x）_max=max{f（1），-f（

a

）}，
由f(1)=1-3a≥

1

4

及0＜a＜

1

3

，解得0＜a≤

1

4

，此時-f(

a

)≤f(1)成立．
∴g(x)max=f(1)=1-3a≥

1

4

．
由-f(

a

)=2a

a

≥

1

4

及0＜a＜

1

3

，解得

1

4

≤a＜

1

3

，此時-f(

a

)≥f(1)成立．
∴g(x)max=-f(

a

)=2a

a

≥

1

4

．
∴在x∈[-1，1]上至少存在一個x₀，使得|f（x₀）|≥

1

4

成立，
即當x∈[-1，1]時，函數(shù)y=f（x）的圖象上至少存在一點P，使得點P到x軸的距離不小于

1

4

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值，最小值問題中的應(yīng)用，難點之一為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性時，式子里面有參數(shù)，要對參數(shù)進行分類討論，難點之二要清楚原函數(shù)f（x）的零點，排除f（0）為最大值的可能，同時得出g（x）與f（x）的關(guān)系．