Question

已知等差數(shù)列數(shù)﹛a_n﹜的前n項和為S_n，等比數(shù)列﹛b_n﹜的各項均為正數(shù)，公比是q，且滿足：a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設（λ∈R），若﹛c_n﹜滿足：c_n+1＞c_n對任意的n∈N⁺恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由S₂=a₁+a₂=3+a₂，b₂=b₁q=q，且b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
∴，消去a₂得：q²+q-12=0，解得q=3或q=-4（舍），
∴，則d=a₂-a₁=6-3=3，
從而a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n，
；
（Ⅱ）∵a_n=3n，，∴．
∵c_n+1＞c_n對任意的n∈N⁺恒成立，即：3ⁿ⁺¹-λ•3ⁿ⁺¹＞3ⁿ-λ•2ⁿ恒成立，
整理得：λ•2ⁿ＜2•3ⁿ對任意的n∈N⁺恒成立，
即：對任意的n∈N⁺恒成立．
∵在區(qū)間[1，+∞）上單調遞增，∴，
∴λ＜3．
∴λ的取值范圍為（-∞，3）．
分析：（Ⅰ）由題目給出的已知條件b₂+S₂=12，S₂=b₂q，列關于等差數(shù)列的第二項及等比數(shù)列的公比的二元方程組，求出等差數(shù)列的第二項及等比數(shù)列的公比，則a_n與b_n可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a_n與b_n代入（λ∈R），整理后把c_n+1＞c_n轉化為含有λ和n的表達式，分離參數(shù)后利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的最小值，從而求出λ的取值范圍．
點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，考查了利用分離變量法求參數(shù)的范圍問題，借助于函數(shù)單調性求函數(shù)的最小值是解答此題的關鍵，此題是中檔題．