Question

已知點(diǎn)F（0，1），一動圓過點(diǎn)F且與圓x²+（y+1）²=8內(nèi)切，
（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（a，0），點(diǎn)P為曲線C上任一點(diǎn)，求點(diǎn)A到點(diǎn)P距離的最大值d（a）；
（3）在0＜a＜1的條件下，設(shè)△POA的面積為s₁（O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是曲線C上橫坐標(biāo)為a的點(diǎn)），以d（a）為邊長的正方形的面積為s₂．若正數(shù)m滿足，問m是否存在最小值，若存在，請求出此最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為P（x，y），則動圓的半徑為r=，又動圓與x²+（y+1）²=8內(nèi)切，故，由此能求出動圓圓心的軌跡C的方程．
（2）設(shè)P（x，y），則|PA|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2-2x²=-（x+a）²+2a²+2，令f（x）=-（x+a）²+2a²+2，x∈[-1，1]．再分類討論能夠推導(dǎo)出．
（3）當(dāng)0＜a＜1時，P（），于是，S₂=2a²+2，若正數(shù)m滿足條件，則，
，令，設(shè)t=a²+1，則t∈（1，2），a²=t-1，于是=-4，由此能夠?qū)С鰉存在最小值．
解答：解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為P（x，y），則動圓的半徑為r=，
又動圓與x²+（y+1）²=8內(nèi)切，
∴，
整理得2x²+y²=2，
∴動圓圓心的軌跡C的方程為2x²+y²=2．
（2）設(shè)P（x，y），則
|PA|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2-2x²
=-x²-2ax+a²+2
=-（x+a）²+2a²+2，
令f（x）=-（x+a）²+2a²+2，x∈[-1，1]，
∴當(dāng)-a＜-1，即a＞1時，f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，
[f（x）]_max=f（-1）=（a+1）²．
當(dāng)-1≤-a≤1，即-1≤a≤1時，f（x）在[-1，-a]上是增函數(shù)，在[-a，1]上是減函數(shù)，
則[f（x）]_max=f（-a）=2a²+2．
當(dāng)-a＞1，即a＜-1時，f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
[f（x）]_max=f（1）=（a-1）²，
∴．
（3）當(dāng)0＜a＜1時，P（），于是，S₂=2a²+2，
若正數(shù)m滿足條件，則，
即，
，令，
設(shè)t=a²+1，則t∈（1，2），a²=t-1，
于是==-4，
∴當(dāng)，即時，，
即，∴m存在最小值．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．