Question

如圖，設(shè)拋物線方程為x²=2py（p＞0），M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B．
（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2p）時，．求此時拋物線的方程；
（Ⅲ）是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D在拋物線x²=2py（p＞0）上，其中，點(diǎn)C滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意先設(shè)出A，B和M的坐標(biāo)，對拋物線方程求導(dǎo)，進(jìn)而表示出AM，BM的斜率，則直線AM和BM的直線方程可得，聯(lián)立后整理求得2x=x₁+x₂．推斷出A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，x=2代入拋物線方程整理推斷出x₁，x₂是方程x²-4x-4p²=0的兩根，利用韋達(dá)定理求得x₁+x₂的值，表示出直線AB的方程，利用弦長公式求得|AB|，進(jìn)而求得p，則拋物線的方程可得．
（Ⅲ）設(shè)出D點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出C的坐標(biāo)，則CD的中點(diǎn)的坐標(biāo)可得，代入直線AB的方程，把D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的方程，求得x₃，然后討論x=0和x≠0時，兩種情況，分析出答案．
解答：解：（Ⅰ）證明：由題意設(shè)．
由x²=2py得，得，
所以，．
因此直線MA的方程為，
直線MB的方程為．
所以，①．②
由①、②得，
因此，即2x=x₁+x₂．
所以A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)x=2時，
將其代入①、②并整理得：x₁²-4x₁-4p²=0，x₂²-4x₂-4p²=0，
所以x₁，x₂是方程x²-4x-4p²=0的兩根，
因此x₁+x₂=4，x₁x₂=-4p²，
又，
所以．
由弦長公式得．
又，
所以p=1或p=2，
因此所求拋物線方程為x²=2y或x²=4y．
（Ⅲ）解：設(shè)D（x₃，y₃），由題意得C（x₁+x₂，y₁+y₂），
則CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線AB的方程為，
由點(diǎn)Q在直線AB上，并注意到點(diǎn)也在直線AB上，
代入得．
若D（x₃，y₃）在拋物線上，則x₃²=2py₃=2xx₃，
因此x₃=0或x₃=2x．
即D（0，0）或．
（1）當(dāng)x=0時，則x₁+x₂=2x=0，此時，點(diǎn)M（0，-2p）適合題意．
（2）當(dāng)x≠0，對于D（0，0），此時，=，
又，AB⊥CD，
所以，
即x₁²+x₂²=-4p²，矛盾．
對于，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213405329271815/SYS201310232134053292718015_DA/26.png">，此時直線CD平行于y軸，
又，
所以直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，
所以x≠0時，不存在符合題意的M點(diǎn)．
綜上所述，僅存在一點(diǎn)M（0，-2p）適合題意．
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系的綜合問題．考查了學(xué)生分析推理和分類討論思想的運(yùn)用．