Question

16．己知函數(shù)f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$cosx•sinx+sin²x，x∈R，求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，由周期公式可得最小正周期，解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：化簡可得f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$cosx•sinx+sin²x
=cos²x+sin²x+$\sqrt{3}$cosx•sinx+sin²x
=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1-cos2x）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{3}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，
∴函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可解得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．