設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:①對任意的實數(shù)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y);②當x>0時,f(x)>1.數(shù)列{an}滿足a1=f(0),且f()=(n∈N*).(1)求f(0),判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)求數(shù)列{an}的通項an的表達式;
(3)令bn是最接近,
設(shè)Tn=…+.
解:(Ⅰ)令y=0,x=1得:f(1)=f(1)·f(0)f(1)(1-f(0))=0, ∵f(1)≠0,∴f(0)=1 ∵x0時,f(x)>1,而由點①可知:1=f(0)=f(-x+x)=f(-x)·f(x),∴f(x)= ∴x<0時,0<f(x)<1,∴x∈R時,0<f(x) 設(shè)x1<x2,由f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)·f(x2-x1),而x1-x2>0,∴f(x2-x1)>1 ∴f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)·f(x2-x1)>f(x1),∴f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù). (Ⅱ)因為數(shù)列{an}滿足a1=f(0)=1,且f()= 由(Ⅰ)可得f()=f(an+1),即=an+1,∴-an=1(n∈N*),∴an=n(n∈N*) (Ⅲ)令bn=k(k∈N*)是最接近的正整數(shù), 則k- 由于k,n都是正整數(shù),∴k2-k+1≤n≤k2+k 所以滿足bn=k的正整數(shù)n有k2+k-(k2-k+1)+1=2k個;312<1000<322,322-32+1=993 T1000== 。=64+ |
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
πx |
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A、m=-
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B、m=1-e,n=5 | ||
C、m=-
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D、m=e-1,n=4 |
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