設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:①對任意的實數(shù)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y);②當x>0時,f(x)>1.數(shù)列{an}滿足a1=f(0),且f()=(n∈N*).(1)求f(0),判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)求數(shù)列{an}的通項an的表達式;

(3)令bn是最接近,

設(shè)Tn…+

答案:
解析:

  解:(Ⅰ)令y=0,x=1得:f(1)=f(1)·f(0)f(1)(1-f(0))=0,

  ∵f(1)≠0,∴f(0)=1

  ∵x0時,f(x)>1,而由點①可知:1=f(0)=f(-x+x)=f(-x)·f(x),∴f(x)=

  ∴x<0時,0<f(x)<1,∴x∈R時,0<f(x)

  設(shè)x1<x2,由f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)·f(x2-x1),而x1-x2>0,∴f(x2-x1)>1

  ∴f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)·f(x2-x1)>f(x1),∴f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù).

  (Ⅱ)因為數(shù)列{an}滿足a1=f(0)=1,且f()=

  由(Ⅰ)可得f()=f(an+1),即=an+1,∴-an=1(n∈N*),∴an=n(n∈N*)

  (Ⅲ)令bn=k(k∈N*)是最接近的正整數(shù),

  則k-

  由于k,n都是正整數(shù),∴k2-k+1≤n≤k2+k

  所以滿足bn=k的正整數(shù)n有k2+k-(k2-k+1)+1=2k個;312<1000<322,322-32+1=993

  T1000

 。=64+


練習冊系列答案
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設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=
1
x-2
(x>2)
1
2-x
(x<2)
1(x=2)
,若關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=3有且只有3個不同實數(shù)解x1、x2、x3,且x1<x2<x3,則x12+x22+x32=
 

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2
2
;f(2011)=
3
2
3
2

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(2013•順義區(qū)二模)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù),f′(x)是f(x)的導函數(shù).當x∈[0,π]時,0<f(x)<1;當x∈(0,π)且x≠
π
2
時,(x-
π
2
)f′(x)<0
.則函數(shù)y=f(x)-cosx在[-3π,3π]上的零點個數(shù)為
6
6

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設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+π)=f(x-π),f(
π
2
-x
)=f(
π
2
+x
),當x∈[-
π
2
,
π
2
]
時,0<f(x)<1;當x∈(-
π
2
,
π
2
)
且x≠0時,x•f′(x)<0,則y=f(x)與y=cosx的圖象在[-2π,2π]上的交點個數(shù)是( 。

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設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件:①f(x+1)=-f(x)對任意的x都成立;②當x∈[0,1]時,f(x)=ex-e•cos
πx
2
+m(其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù),m是常數(shù)).記f(x)在區(qū)間[2013,2016]上的零點個數(shù)為n,則( 。
A、m=-
1
2
,n=6
B、m=1-e,n=5
C、m=-
1
2
,n=3
D、m=e-1,n=4

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