Question

在一個(gè)圓錐體的培養(yǎng)房?jī)?nèi)培養(yǎng)了40只蜜蜂，準(zhǔn)備進(jìn)行某種實(shí)驗(yàn)，過(guò)圓錐高的中點(diǎn)有一個(gè)不計(jì)厚度且平行于圓錐底面的平面把培養(yǎng)房分成兩個(gè)實(shí)驗(yàn)區(qū)，其中小錐體叫第一實(shí)驗(yàn)區(qū)，圓臺(tái)體叫第二實(shí)驗(yàn)區(qū)，且兩個(gè)實(shí)驗(yàn)區(qū)是互通的．假設(shè)蜜蜂落入培養(yǎng)房?jī)?nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個(gè)位置相互之間是不受影響的．
（1）求蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)的概率；
（2）若其中有10只蜜蜂被染上了紅色，求恰有一只紅色蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)的概率；
（3）記X為落入第一實(shí)驗(yàn)區(qū)的蜜蜂數(shù)，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析：（1）由題意知蜜蜂落入培養(yǎng)房?jī)?nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個(gè)位置相互之間是不受影響的，可以得到這是一個(gè)等可能事件的概率，做出條件中所給的兩個(gè)幾何體的體積，求比值得到結(jié)果．
（2）本題符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)一共復(fù)數(shù)10次，恰好有一次發(fā)生，發(fā)生的概率根據(jù)上一問(wèn)做出的結(jié)果，代入公式得到概率．
（3）因?yàn)槊鄯渎淙肱囵B(yǎng)房?jī)?nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個(gè)位置相互之間是不受影響的，得到變量X滿足二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式得到結(jié)果．

解答：解：（1）由題意知蜜蜂落入培養(yǎng)房?jī)?nèi)任何位置是等可能的，
且蜜蜂落入哪個(gè)位置相互之間是不受影響的，
可以得到這是一個(gè)等可能事件的概率，
記“蜜蜂落入第一實(shí)驗(yàn)區(qū)”為事件A，“蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)”為事件B．
依題意，P(A)=

V小椎體

V圓椎體

=

1 3 • 1 4 •S圓錐底面• 1 2 h圓錐

1 3 •S圓錐底面h圓錐

=

1

8

∴P(B)=1-P(A)=

7

8

∴蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)的概率為

7

8

．
（2）本題符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
記“恰有一只紅色蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)”為事件C，則
P(C)=

C

1 10

×

7

8

×(

1

8

)9=

70

810

=

70

230

∴恰有一只紅色蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)的概率

70

230

．
（3）因?yàn)槊鄯渎淙肱囵B(yǎng)房?jī)?nèi)任何位置是等可能的，
且蜜蜂落入哪個(gè)位置相互之間是不受影響的，
∴變量X滿足二項(xiàng)分布，即X～(40，

1

8

)
∴隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX=40×

1

8

=5

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，這種類(lèi)型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，大型考試中理科考試必出的一道問(wèn)題．