Question

已知函數(shù)f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）設(shè)n=-4，且f（x）＜0對(duì)任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范圍．．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對(duì)m、n的取值分m=n=0和m、n中至少有一個(gè)不為0兩種情況討論，再分別利用定義f（-x）和f（x）的關(guān)系判斷奇偶性即可；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，把不等式轉(zhuǎn)化為-x-

4

x

＜m＜-x+

4

x

恒成立，再利用函數(shù)的單調(diào)性分別求出不等式兩端的函數(shù)值的范圍即可求出m的取值范圍．

解答：解：（I）若m²+n²=0，即m=n=0，則f（x）=x•|x|，
∴f（-x）=-f（x）．即f（x）為奇函數(shù)．（2分）
若m²+n²≠0，則m、n中至少有一個(gè)不為0，
當(dāng)m≠0．則f（-m）=n，f（m）=n+2m|m|，故f（-m）≠±f（m）．
當(dāng)n≠0時(shí)，f（0）=n≠0，
∴f（x）不是奇函數(shù)，f（n）=n+|m+n|•n，f（-n）=n-|m-n|n，則f（n）≠f（-n），
∴f（x）不是偶函數(shù)．
故f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
綜上知：當(dāng)m²+n²=0時(shí)，f（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)m²+n²≠0時(shí)，f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（5分）
（Ⅱ）若x=0時(shí)，m∈R，f（x）＜0恒成立；（6分）
若x∈（0，1]時(shí)，原不等式可變形為|x+m|＜

4

x

．即-x-

4

x

＜m＜-x+

4

x

．
∴只需對(duì)x∈（0，1]，滿足

m＜(-x+ 4 x )min① m＞(-x- 4 x )max②

（8分）
對(duì)①式，f1(x)=-x+

4

x

在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴m＜f₁（1）=3．（10分）
對(duì)②式，設(shè)f&2(x)=-x-

4

x

，則f2′(x)=

-x2+4

x2

＞0．（因?yàn)?＜x＜1）
∴f₂（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴m＞f₂（1）=-5．（12分）
綜上所知：m的范圍是（-5，3）．（13分）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性以及恒成立問(wèn)題和利用單調(diào)性求函數(shù)值域，考查分類討論思想，是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，屬于中檔題目．