精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，點(diǎn)E是線段SD上任意一點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥BE；
（2）若二面角C-AE-D的大小為60°，求線段ED的長．
分析：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DE=t，求出向量
AC
和
BE
的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積為零證得AC⊥BE；
（2）取平面ADE的一個(gè)法向量為
n1
=（0，1，0）．設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為
n2
=（x，y，z），利用
AE
•
n2
=0，
AC
•
n2
=0求出
n2
，最后根據(jù)cos60°=
n1
•
n2
|
n1
||
n2
|
=
1
2+
a2
t2
求出t，即可求出所求．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0）．設(shè)DE=t，
則E（0，0，t）（2分）
AC
=(-a，a，0)，
BE
=（-a，-a，t），（4分）
∵
AC
•
BE
=a2-a2+0=0，∴AC⊥BE．（6分）
（2）取平面ADE的一個(gè)法向量為
n1
=（0，1，0）．（7分）
設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為
n2
=（x，y，z），，
AE
=（-a，0，t），
由
AE
•
n2
=0，
AC
•
n2
=0得
-ax+tz=0
-ax+ay=0
，
∴y=x，z=
a
t
x．取
n2
=(1，1，
a
t
)，（10分）
由cos60°=
n1
•
n2
|
n1
||
n2
|
=
1
2+
a2
t2
（12分）
得t=
2
2
a，因此DE=
2
2
a．（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，以及利用空間向量的方法求證垂直和求距離等有關(guān)問題，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點(diǎn)，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）證明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為3的正方形，SD丄底面ABCD，SB=3
3
，點(diǎn)E、G分別在AB，SG 上，且AE=
1
3
AB  CG=
1
3
SC．
（1）證明平面BG∥平面SDE；
（2）求面SAD與面SBC所成二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•醴陵市模擬）如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點(diǎn)，AD=2，AB=1．SP與平面ABCD所成角為
π4
． 
（1）求證：平面SPD⊥平面SAP；
（2）求三棱錐S-APD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐S-ABCD底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一點(diǎn)，且SE=2EC，SA=6，AB=2．
（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（2）求三棱錐E-BCD的體積V．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•西城區(qū)二模）如圖，四棱錐S-ABCD中，平面SAC與底面ABCD垂直，側(cè)棱SA、SB、SC與底面ABCD所成的角均為45°，AD∥BC，且AB=BC=2AD．
（1）求證：四邊形ABCD是直角梯形；
（2）求異面直線SB與CD所成角的大��；
（3）求直線AC與平面SAB所成角的大小．

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