Question

已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（θ）=sinθ+a+3，g（θ）=

3(a-1)

sinθ+1

（θ∈R）．
（1）若f（θ）=cosθ，試求a的取值范圍；
（2）若a＞1，求函數(shù)f（θ）+g（θ）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先令f（θ）=cosθ，得到關(guān)于a與θ的關(guān)系式sinθ-cosθ=-3-a，再由三角函數(shù)的輔角公式化簡(jiǎn)后可得答案．
（2）先表示出f（θ）+g（θ）的關(guān)系式，然后令sinθ+1=x將有關(guān)三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為一般函數(shù)的問(wèn)題，再由基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性解題．

解答：解：（1）∵f（θ）=cosθ，∴sinθ-cosθ=-3-a，
又sinθ-cosθ=

2

sin（θ-

π

4

），
∴-

2

≤3+a≤

2

，即a的取值范圍是[-

2

-3，

2

-3]
（2）f（θ）+g（θ）=（sinθ+1）+

3(a-1)

sinθ+1

+a+2，令sinθ+1=x，則0＜x≤2，
∵a＞1
∴x+

3(a-1)

x

≥2

3(a-1)

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

3(a-1)

時(shí)，等號(hào)成立
由

3(a-1)

≤2解得a≤

7

3

，
∴當(dāng)1＜a≤

7

3

時(shí)，函數(shù)f（θ）+g（θ）的最小值是2

3(a-1)

+a+2；
下面求當(dāng)a＞

7

3

時(shí)，函數(shù)f（θ）+g（θ）的最小值．
當(dāng)a＞

7

3

時(shí)，

3(a-1)

＞2，函數(shù)h（x）=x+

3(a-1)

x

在（0，2]上為減函數(shù)．所以函數(shù)f（θ）+g（θ）的最小值為．
當(dāng)a＞

7

3

時(shí)，函數(shù)h（x）=x+

3(a-1)

x

在（0，2]上為減函數(shù)的證明：任取0＜x₁＜x₂≤2，
h（x₂）-h（x₁）=（x₂-x₁）[1-

3(a-1)

x1x2

]，
因?yàn)?＜x₂x₁≤4，3（a-1）＞4，
所以1-

3(a-1)

x1x2

＜0，h（x₂）-h（x₁）＜0，
由單調(diào)性的定義函數(shù)h（x）=x+

3(a-1)

x

在（0，2]上為減函數(shù)．
于是，當(dāng)1＜a≤

7

3

時(shí)，函數(shù)f（θ）+g（θ）的最小值是2

3(a-1)

+a+2；
當(dāng)a＞

7

3

時(shí)，函數(shù)f（θ）+g（θ）的最小值

5(a+1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的輔角公式和基本不等式的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．運(yùn)用基本不等式時(shí)注意等號(hào)成立的條件以及運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的時(shí)候要有適當(dāng)?shù)淖C明方有說(shuō)服力．