Question

4．已知函數f（x）=-x²+2|x|．
（Ⅰ）判斷并證明函數的奇偶性；
（Ⅱ）寫出函數f（x）的單調區(qū)間（不需證明）；
（Ⅲ）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數f（x）=-x²+2|x|為偶函數．運用偶函數的定義，判斷f（-x）=f（x）即可；
（Ⅱ）由二次函數的單調性即可得到單調區(qū)間；
（Ⅲ）根據單調性，可得f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．

解答 （本題12分）
解：（Ⅰ）函數f（x）=-x²+2|x|為偶函數．
理由：由函數f（x）的定義域為R，
且f（-x）=-（-x）²+2|-x|=-x²+2|x|=f（x），
∴f（x）為偶函數．
（Ⅱ）函數f（x）的遞增區(qū)間為：（-∞，-1]，[0，1]；
遞減區(qū)間為：[-1，0]，[1，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）_max=f（-1）=f（1）=1；
f（x）_min=f（-3）=-3．

點評 本題考查函數的性質和運用：求最值，主要考查函數的奇偶性和單調性，屬于中檔題．