Question

8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a+c=$\sqrt{2}$b．
（I）求證：B≤$\frac{π}{2}$；
（Ⅱ）若△ABC的面積為S，且S=tanB，b=2$\sqrt{3}$時，求S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a+c=$\sqrt{2}$b，兩邊平方化簡，根據(jù)基本不等式的關(guān)系得b²≥2ac，根據(jù)余弦定理求得cosB≥0，即可得到B≤$\frac{π}{2}$；
（Ⅱ）S=tanB，根據(jù)三角形面積公式求得accosB=2，余弦定理可求得ac=4，即可求得cosB及tanB，可求得S．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，$\sqrt{2}$b=a+c，
兩邊平方得：a²+c²+2ac=2b²，
∴b²≥2ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時成立，
由余弦定理可知：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{^{2}-2ac}{2ac}$≥0，
∴B≤$\frac{π}{2}$；
（Ⅱ）S=$\frac{1}{2}$acsinB=tanB，
accosB=2，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{^{2}-2ac}{2ac}$，
$\frac{2}{ac}$=$\frac{12-2ac}{2ac}$，
ac=4
∴cosB=$\frac{1}{2}$，sin=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
tanB=$\sqrt{3}$．
∴S=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正弦余弦定理與基本不等式相結(jié)合，計算過程簡單，思路明確，屬于中檔題．