Question

20．已知函數(shù)f（x）=-x²+ax-$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{2}$，在區(qū)間[0，1]上的最大值是2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)，對(duì)稱軸為x=$\frac{a}{2}$，討論對(duì)稱軸和區(qū)間[0，1]的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出每種情況下的f（x）的最大值2時(shí)，解出a，然后求最小值．

解答 解：（1）當(dāng)$\frac{a}{2}$＜0時(shí)，即a＜0時(shí)，由f（0）=2得到a=-6，此時(shí)f（x）的最小值為f（1）=-5；
（2）當(dāng)0≤$\frac{a}{2}$≤1時(shí)，即0≤a≤2時(shí)，f（$\frac{a}{2}$）=2，得到a=-2或者a=3（舍去）；此時(shí)f（x）無最小值；
（2）當(dāng)$\frac{a}{2}$＞1時(shí)即a＞2時(shí)，f（1）=2得到a=$\frac{10}{3}$，此時(shí)f（x）的最小值為f（0）=$-\frac{1}{3}$；
綜上所述：當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的最大值為-5；
當(dāng)a＞2時(shí)最大值為$-\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性以及討論的數(shù)學(xué)思想；正確討論對(duì)稱軸與端點(diǎn)關(guān)系是解答的關(guān)鍵．